一群變量值可能用平均數(shù)描述集中的位置，用變異指標(biāo)描述離散情況，而頻數(shù)表則把變量值的分布描繪得更具體。為了直觀還可把頻數(shù)表畫(huà)成直方圖。如第四章中曾將7歲男童坐高的頻數(shù)分布繪成圖4.1。從圖中可看出數(shù)據(jù)集中均數(shù)周?chē)笥一緦?duì)稱(chēng)，離均數(shù)愈近數(shù)據(jù)愈多，離均數(shù)愈遠(yuǎn)數(shù)據(jù)愈少的特點(diǎn)。醫(yī)學(xué)科研中如健康人的紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量、血清總膽固醇，同年齡同性別兒童的身高、體重等，雖然數(shù)據(jù)各異，但畫(huà)出的直方圖圖形是類(lèi)似的。可以設(shè)想，這種類(lèi)型的資料，如果調(diào)查例數(shù)無(wú)限增多，所用組距又無(wú)限的小，那么直方頂端就連成了一條光滑的曲線。這條曲線，典型地反映了這類(lèi)資料的分布情況，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為正態(tài)曲線，其方程為來(lái)源：www.examda.com
式中n為總頻數(shù)，X為變量值，μ為均數(shù)，σ為標(biāo)準(zhǔn)差，Y為縱高，e=2.71828……，π=3.14158……。在一個(gè)總體中n、μ、σ、e、π都是常數(shù)，只有X在變，所以Y=f(x)。來(lái)源：www.examda.com
式(5.1)亦可寫(xiě)成：
由上式可看出曲線的性質(zhì)：
1.曲線左右對(duì)稱(chēng)。X-μ無(wú)論是正或負(fù)，只要絕對(duì)值就相等，Y值就相等。所以只要X與μ的距離相等，Y就相等。Y值以X=μ為對(duì)稱(chēng)軸。來(lái)源：www.examda.com
2.中位數(shù)、均數(shù)、眾數(shù)重合。正態(tài)曲線在橫軸上方。當(dāng)X=μ時(shí)，e0=1，Y為極大，所以均數(shù)與眾數(shù)密合。由于曲線左右對(duì)稱(chēng)，所以均數(shù)亦即中位數(shù)。e的指數(shù)愈大，Y愈小，但不會(huì)得負(fù)值，所以Y>0，曲線在橫軸上方。
3.隨著(X-μ/σ)的絕對(duì)值的增加，曲線由平均數(shù)所在點(diǎn)向左右兩方迅速下降。來(lái)源：www.examda.com
4.離平均數(shù)左右1σ處為曲線拐點(diǎn)。在μ±σ以?xún)?nèi)曲線向下彎曲，以外則向上彎曲。
這種類(lèi)型的資料，數(shù)據(jù)值雖各不相同，但都有其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，如果橫軸上各以其均數(shù)為原點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)差為單位，并令x=X-μ，那么(X-μ)/σ可寫(xiě)成x/σ，稱(chēng)為正態(tài)離差u，
(5.2)
再令總頻數(shù)為1。 這時(shí)曲線以μ為原點(diǎn)，以σ為單位，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，其公式為
(5.3)
以μ為均數(shù)，σ2為方差的正態(tài)分布可記為N(μ，σ2)，因此標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可記為N(0，1)。 來(lái)源：www.examda.com
圖5.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線
